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如何求对称矩阵的特征值与特征向量?

p^-1Ap即为特征值为元素的对角阵，注意特征值和特征向量是一一对应的。

方法一：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，由此可得第三个特征值对应的特征向量，进一步可得到第三个特征值。方法二：实对称矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的代数和，所有特征值的积等于矩阵的行列式的值。

设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA（λ） = 0来得到。

实对称矩阵的特征值都是实数。这是实对称矩阵的一个重要性质，可以简化求解特征值的过程，无需考虑复数解。实对称矩阵的特征向量对应于不同特征值的特征向量是正交的。

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，由此可设另一个特征值的特征向量为 （x1，x2，...）^T， 它与已知特征向量正交， 求出基础解系即可。

下面来求B的特征值和特征向量：由于A为对称矩阵，故存在正交矩阵U使得U^TAU=diag{a1，a2，a3}. 其中a1，a2，a3为A的特征值。

实对称矩阵的特征值如何求出来的?

1、实对称矩阵可以通过特征值分解得到。特征值分解可以将实对称矩阵表示为特征向量和特征值的乘积形式，即A = QΛQ^T，其中Q是由特征向量组成的正交矩阵，Λ是对角矩阵，对角线上的元素是特征值。

2、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

3、设A*为A共轭转置，则A*=A，设a是A的特征值，从而存在x不为0，使得Ax=ax，两边共轭转置（用A*表示），有x*A*=a共轭x*，右乘x，有x*A*x=x*Ax=x*ax=a共轭x*x，因x不为0，从而a=a共轭，于是a为实数。

4、可设特征值1的特征向量为（x，y，z），由这两个特征向量正交，则可得方程组 x+y-z=0 由此解得方程组的基础解系，含两个线性无关的向量。就是属于特征值1的两个线性无关的特征向量。

如何理解对称矩阵的特征值和特征向量?

对称性：对称矩阵的定义就是其元素关于主对角线对称。这意味着矩阵的转置等于其本身，即对于任意元素Aij，都有Aji=Aij。这种对称性使得在对称矩阵上进行操作时，可以大大减少计算量。

该情况的性质需要分类讨论，例子如下：如果实对称矩阵每行元素之和都相等，那么这个常数就是矩阵的一个特征值，而全1向量就是对应的特征向量。

n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足 的标量以及非零向量 。其中v为特征向量，为特征值。A的所有特征值的全体，叫做A的谱 [15] ，记为 。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

因为AB是对称矩阵，所以（AB）T=AB 所以AB=BA 反之，若AB=BA 则（AB）T=（BA）T AB=ATBT 故A=AT，B=BT 两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。

怎么求矩阵的特征值和特征向量

1、∴（x1，x2，x3）=（-2t-1，t+2，t）=t（-2，1，1）+（-1，2，0）.还可以用增广矩阵解。

2、求矩阵的特征向量公式：|A-λE|=0。矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。

3、可以运用eig函数求特征值和特征向量。E=eig（A）：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。[V，D]=eig（A）：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。

4、从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。

5、α=λ（A^-1）α 即（A^-1）α=（1/λ）α 则A的逆的特征值为1/λ 如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν 其中A和B为矩阵。

6、设x是矩阵A的特征向量，先计算Ax；发现得出的向量是x的某个倍数；计算出倍数，这个倍数就是要求的特征值。

如何求对称阵的特征值和特征向量?

p^-1Ap即为特征值为元素的对角阵，注意特征值和特征向量是一一对应的。

方法一：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，由此可得第三个特征值对应的特征向量，进一步可得到第三个特征值。方法二：实对称矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的代数和，所有特征值的积等于矩阵的行列式的值。

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，由此可设另一个特征值的特征向量为 （x1，x2，...）^T， 它与已知特征向量正交， 求出基础解系即可。

首先，确保给定矩阵是实对称矩阵。实对称矩阵满足矩阵的转置等于矩阵本身。使用特征值分解的方法，将实对称矩阵表示为特征向量和特征值的乘积形式。

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

对称矩阵的特征值和特征向量是什么关系?

1、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足 的标量以及非零向量 。其中v为特征向量，为特征值。A的所有特征值的全体，叫做A的谱 [15] ，记为 。

2、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

3、因为首先实对称矩阵不同的特征值对应特征向量正交。所以λ2和λ3对应的特诊向量是在与α1垂直的一个面上的两个相互垂直的向量，而这个面上所有其他向量都可以用这两个互相垂直（正交）的向量线性表达。

4、特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r（λ0E-A）=n-k，其中E为单位矩阵。

5、特征向量是非零向量，它被矩阵对应的线性变换所拉伸的倍数就是特征值。因此，特征向量和特征值是密切相关的，特征值告诉我们特征向量在矩阵对应线性变换中的行为表现。